リュードベリ定数の導出
今回は、リュードベリ定数の導出です。計算問題という側面が強いので早速いきましょう。
この証明は基本的に覚える必要はない！ただ、量子条件を使う問題としてあるので理解して、自力で計算できるようにしておこう。
ボーアの量子条件は、
$$ 2\pi r \cdot mv=nh $$
電子の運動方程式は、
$$ \displaystyle -k_0 \frac{e^2}{r^2}=m(-\frac{v^2}r)$$
1つ目の式を2つ目の式に代入すれば、
$$ v=\frac{e^2}{2 \varepsilon_0 hn} $$
$$ r_n= \frac{\varepsilon_0 h^2}{\pi me^2}n^2 = \frac{\varepsilon_0 h^2}{\pi me^2}n^2 $$
一方、電子の全エネルギーを考えれば、
$$ E= \frac{mv^2}{2}- \frac{e^2}{4 \pi \varepsilon_0 r} $$
であるから、この式に\(v\)と\(r\)を代入して、
$$ E_n=- \frac{me^4}{8 \varepsilon_0 ^2 h^2} \frac{1}{n^2} $$
\(m\)から\(n\)への遷移によって放出または吸収される光のエネルギーは、
$$ h \nu =E_m -E_n= \frac{me^4}{8 \varepsilon_0^2 h^2} (\frac{1}{m^2}- \frac{1}{n^2}) $$
これらより、
$$ \frac{1}{\lambda}=\frac{v}{c} = \frac{me^4}{8 \varepsilon_0^2 h^3 c}(\frac{1}{m^2}-\frac{1}{n^2}) $$
この式の
$$ \frac{me^4}{8 \varepsilon_0^2 h^3 c} $$
がリュードベリ定数である。すなわち、
$$ R_H = \frac{me^4}{8 \varepsilon_0^2 h^3 c} $$