ラプラス方程式を満たすことの証明~正則の条件から
次のような問題を考えましょう。
f(z)が正則であるとき、u(x,y)とv(x,y)がラプラス方程式を満たすことを示せ。
正則関数は次の2式を満たす。
$$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}・・・(1)$$
$$\frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{\partial u}{\partial y}・・・(2)$$
(1)の両辺をxで偏微分すると、
$$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}=\frac{\partial^2 v}{\partial x \partial y}・・・(3)$$
(2)の両辺をyで偏微分すると、
$$\frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y}=-\frac{\partial^2 v}{\partial y^2}・・・(4)$$
f(z)=u(x,y)+v(x,y)は正則なので、偏微分は交換可能。
したがって、
$$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=\delta u=0・・・(5)$$
(1)をyで偏微分すると、
$$\frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y}=\frac{\partial^2 v}{\partial y^2}・・・(6)$$
(2)式の両辺をxで偏微分
$$\frac{\partial^2 v}{\partial x^2}=-\frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y}・・・(7)$$
f(z)=u(x,y)+v(x,y)は正則なので、偏微分は交換可能。したがって、(5)と同様に、
$$\frac{\partial^2 v}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 v}{\partial y^2}=\delta u=0・・・(8)$$
以上より、題意が成り立つことが示された。