高校数学Ⅰまとめノート No.5 背理法〜背理法とは？そして具体例へ〜
今回は数学Ⅰで学ぶ「背理法」という技法について確認していきましょう。この背理法、正直入試で使う場面は少ないんですが、意外なところで出てきたりします。（2020年度入試で言えば、大阪市立大学の複素数平面の問題など。）ので、しっかり確認して、使うときには必要十分な言葉を書けるようにしましょう。
背理法
👆POINT
\(p\Rightarrow q\)を証明するのに「\(p\)かつ\(\overline{q}\)」とすれば不合理であることを示して\(p\Rightarrow q\)が真であるとする証明法を背理法という。
さて、これは一種の証明の手法です。例をみながら考えていきましょう。
背理法の具体例
👆POINT
「\(x^2+y^2\)が奇数ならば， 積\(xy\)は偶数である」ことの証明
「\(x^2+y^2\)が奇数ならば， 積\(xy\)は偶数である」…①
が成り立たないと仮定すれば
「\(x^2+y^2\)が奇数で， 積\(xy\)が奇数である整数\(x, y\)が存在する」…②
ということになる。
☆まずはその命題が成り立たないと仮定します。その仮定のもとで計算などを進めます。
積\(xy\)が奇数ならば\(x\)も\(y\)も奇数だから, \(m, n\)を整数として
\(x=2m+1,~y=2n+1\)…③
とおける。このとき
\(x^2+y^2=(2m+1)^2+(2n+1)^2\)
\(=2(2m^2 +2n^2 +2m+2n+1)\)
であるから， \(x^2+y^2\)は偶数である。
☆先ほど仮定した状態で進めたら、おかしくなりましたね。
これは②の前半に矛盾する。
☆「矛盾した」としっかり書きましょう。
ゆえに，①は成り立つ。
☆否定したら話がおかしくなった、から否定していないものが正しいのだ！ってことですね